(Limite)
Proposition :
Soient \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) et \((v_n)_{n\in\Bbb N}\) telles que \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=\ell\) et \(\underset{n\to+\infty}\lim v_n=\ell'\)
Alors :
1. $$\forall\lambda\in\Bbb R,\lim_{n\to+\infty}{{(\lambda u_n+v_n)}}={{\lambda \ell+\ell'}}$$
2. $$\lim_{n\to+\infty}{{(u_n\times v_n)}}={{\ell\times\ell'}}$$
3. Si \(\ell\neq0\), alors \(u_n\neq0\) pour \(n\) suffisamment grand et $$\lim_{n\to+\infty}{{\frac1{u_n} }}={{\frac1\ell}}$$
Démonstration de 2. : $$\begin{align}&(v_n)_{n\in\Bbb N}\text{ converge }\implies (v_n)_{n\in\Bbb N}\text{ est borné }\\ &\text{donc }\exists M\gt 0,\forall n\in\Bbb N,\lvert v_n\rvert\leqslant M\\ &\lvert u_nv_n-\ell\ell'\rvert=\lvert(u_n-\ell)\times v_n+\ell v_n -\ell\ell'\rvert\\ &\text{donc }\lvert u_nv_n-\ell\ell'\rvert=\lvert(u_n-\ell)\times v_n+\ell(v_n-\ell')\rvert\\ &\leqslant\lvert u_n-\ell\rvert\lvert v_n\rvert+\lvert\ell\rvert\lvert v_n-\ell'\rvert\\ &\leqslant M\lvert u_n-\ell\rvert+\lvert\ell\rvert\lvert v_n-\ell'\rvert\\ &\text{soit }\varepsilon\gt 0\text{. Il existe }n_0,n_1\in\Bbb N\text{ tels que :}\\ &n\geqslant n_0\implies\lvert u_n-\ell\rvert\lt \frac\varepsilon{2M}\\ &n\geqslant n_1\implies\lvert v_n-\ell'\rvert\lt \frac\varepsilon{2\lvert\ell\rvert}\\ &\text{d'où }n\geqslant\max(n_0,n_1)\implies\lvert u_nv_n-\ell\ell'\rvert\lt M\frac\varepsilon{2M}+\lvert\ell\rvert\times\frac\varepsilon{2\lvert\ell\rvert}=\varepsilon\\ &\text{donc }(u_nv_n)_{n\in\Bbb N}\text{ converge vers }\ell\ell'\\ &\text{2e cas : }\ell=0\\ &\lvert u_nv_n\rvert\leqslant M\lvert u_n\rvert\\ &\text{ comme }u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow0,\forall\varepsilon\gt 0,\exists N,n\geqslant N\implies\lvert u_n\rvert\frac\varepsilon M\end{align}$$
Remarque : si \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=0\) et \((v_n)_{n\in\Bbb N}\) est bornée, alors \({{u_nv_n}}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow{{0}}\)
Corollaire : si \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=\ell\) et \(\underset{n\to+\infty}\lim v_n=\ell'\), alors $${{\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n} }}={{\frac\ell{\ell'} }}$$
Exemple d'application : $$\begin{align}u_n&=\frac{2n^2+3n-4}{n^2+5n-2}\\ &=\frac{\cancel{n^2}(2+\frac3n-\frac4{n^2})}{\cancel{n^2}(1+\frac5n-\frac4{n^2})}\\ \text{or }\lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac3n-\frac4{n^2}\right)&=2\\ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac5n-\frac2{n^2}\right)&=1\neq0\\ \text{corollaire }\implies\lim_{n\to+\infty}u_n&=\frac21=2\end{align}$$
! Une inégalité stricte \(\lt \) entre les suites n'implique pas une inégalité stricte entre les limites (mais une égalité large \(\leqslant\))